El análisis de la devolución de pérdidas se ha convertido en un tema recurrente en este blog. Existe un motivo de peso: se trata de una de las mejores oportunidades de juego con ventaja del mundo. Don Johnson machacó al Atlantic City aprovechando las devoluciones de pérdidas. Anteriormente, mi principal resultado teórico fue cuando demostré el teorema de la devolución de pérdidas y ofrecí una hoja de cálculo para contribuir con ese teorema. Sin embargo, nunca he solucionado del todo el problema mediante la búsqueda de soluciones cerradas para los puntos de retiradas con ganancias y con pérdidas. Hoy, mientras paseaba a mi perro, se me ocurrió una idea sobre cómo solucionar por completo el problema de la devolución de pérdidas. Después de algunas horas de cálculos, ¡el método funcionó! Esta publicación presenta este “segundo” teorema de la devolución de pérdidas, su demostración, una hoja de cálculo y un ejemplo. Mi perro está muy orgulloso de mí.

Para refrescarte la memoria, aquí tienes el teorema de la devolución de pérdidas original (haz clic en la imagen para que se expanda): 
 

haz clic en la imagen para que se expanda


El primer teorema de la devolución de pérdidas (LRT1) muestra las ganancias netas previstas del jugador, asumiendo que los valores x (el saldo del jugador) y b (el objetivo de ganancias del jugador) están establecidos. Puse en práctica el teorema mediante la programación de un programa que buscaba en montones de valores diferentes de xy b hasta que di con los que concedían los mayores valores para ganar (x, b, L). La pregunta para la que LRT1 no tenía respuesta era: ¿qué otros valores concretos de x y b maximizan las ganancias (x, b, L)?

A posteriori, la metodología para responder esta pregunta es bastante sencilla. Para maximizar una función de dos variables, utiliza las derivadas parciales con respecto a cada variable, establece el valor cero para cada derivada y resuelve las ecuaciones simultáneas. Tal y como descubrí durante el cálculo, solo es cuestión de buena suerte que estas dos ecuaciones se puedan resolver mediante estadísticas cerradas. Debe prestarse atención a que el resultado sea en realidad un máximo (no un mínimo ni un punto de silla), pero en nuestra situación se intuye que este es el caso.

Así que aquí está, el segundo teorema de la devolución de pérdidas (LRT2) (haz clic en la imagen para que se expanda):
 

Así que aquí está, el segundo teorema de la devolución de pérdidas (LRT2)


Este es el origen de las fórmulas, en caso de que quieras ver mi trabajo. Lo volví a escribir una vez, pero no dos, así que puede que sea difícil de seguir: LRT_Proof

Aquí está la hoja de cálculo que puedes (y debes) descargar para usar LRT1 y LRT2 con facilidad: Loss_Rebate_Theorem_Full_Solution

Me imagino que James Grosjean ya sabe y ha demostrado LRT1 y LRT2, pero no lo he visto, en caso de que lo haya hecho. La verdad es que espero que Don Johnson utilizara este teorema cuando atacó el Atlantic City. Aseguró que tenía a un “doctor en Matemáticas” trabajando para él (¡no era yo!). Los teoremas LRT1 y LRT2 son elegantes y fáciles de usar. No se necesitan simulaciones. Además, los valores de x y b producidos por LRT2 pueden introducirse directamente en las fórmulas de LRT1. En conjunto, nos dan el punto de retirada por ganancias, el de retirada por pérdidas, la probabilidad de ganar, el tiempo de juego previsto y las ganancias netas previstas. ¿Qué más podemos pedir?

Este es un ejemplo. Imagínate los sudores de Don Johnson en Atlantic City. Participó en un juego con dispensador para seis barajas y una devolución de pérdidas del 20 %. En este caso,
 

  • μ = -0,0029036
  • σ = 1,1417
  • L = 0,20


Estos son los resultados de analizar a Don Johnson si LRT1 y LRT2 se utilizaran conjuntamente en la hoja de cálculo que creé (el enlace para descargar esta hoja de cálculo se encuentra más arriba): 
 

Teorema de la devolución de pérdidas
Copyright © 2014, Eliot Jacobson, Ph.D.

 

 

Entrada de devolución de pérdidas

Media

-0,002904

Dev. est.

1,141700

Devolución %

0,20

 

 

Salida de devolución de pérdidas

Punto de retirada por ganancias

24,113

Punto de retirada por pérdidas

25,974

Probabilidad de ganar

0,4907

Ventaja efectiva

0,0026

Rondas esperadas

480,65

Ganancias esperadas

1,2500

     


Vemos que con una apuesta de 100.000 $,
 

  • Don Johnson debería retirarse después de ganar 2.411.300 $.
  • Don Johnson debería retirarse después de perder 2.597.400 $.
  • La probabilidad de alcanzar el punto de retirada por ganancias en cualquier sesión es del 49,07 %.
  • Don Johnson estaba jugando con una ventaja efectiva sobre la casa de alrededor de un 0,26 %.
  • El número de rondas estimadas para alcanzar un punto de retirada es 481.
  • Las ganancias previstas por sesión para Don Johnson eran 125.000 $.


Estos son los resultados que obtuve de Don Johnson en una gran simulación en Monte Carlo. Ten en cuenta que aumenté los saldos en segmentos de 250.000 $ para esta simulación, por eso, no pensé en un punto de retirada tras perder 260.000 $. En mi opinión, LRT1 y LRT2 funcionaron muy bien en comparación con esta simulación.
 

  • Retirada por ganancias = 2.200.000 $.
  • Retirada por pérdidas = 2.750.000 $.
  • Rondas estimadas = 453.
  • Ganancias previstas por sesión: 125.209 $

[ Nota. Me gustaría dar las gracias al juego del rompecabezas con tuercas que me sirvió como inspiración para pensar de nuevo en este problema en este hilo].

Sobre el Autor
Por

Eliot Jacobson recibió su doctorado en Matemáticas de la University of Arizona en 1983. Eliot ha sido profesor de Matemáticas y de Ciencias de la Computación. Eliot se jubilo de la academia en 2009.

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