Pensaba que hab铆a terminado mi trabajo sobre devoluciones de p茅rdidas cuando publiqu茅 el primer teorema de la devoluci贸n de p茅rdidas (LRT1). Entonces, mi perro me dio una buena idea sobre c贸mo conseguir una estad铆stica cerrada para los puntos de retirada por ganancias y por p茅rdidas, y funcion贸. Esa se convirti贸 en el segundo teorema de la devoluci贸n de p茅rdidas (LRT2). Ayer se me encendi贸 la bombilla y pens茅 que solo ten铆a que introducir los puntos de retirada de LTR2 en LTR1 y resolver la cantidad m谩xima que un jugador con ventaja puede ganar aprovech谩ndose de una devoluci贸n de p茅rdidas. Esto termin贸 siendo un l铆o, pero, aparte de los errores de 谩lgebra que me hicieron volver a empezar unas cuantas veces, era f谩cil. El resultado recibe el nombre de tercer teorema de la devoluci贸n de p茅rdidas (LRT3).

Este es el tercer teorema de la devoluci贸n de p茅rdidas (haz clic en la imagen para que se expanda):

Third Loss Rebate Theorem

El denominador del 煤ltimo t茅rmino del coeficiente de devoluci贸n de p茅rdidas casi me saca de quicio. No es 鈥渆鈥 elevado a una potencia. Solo es 鈥渆鈥 multiplicado por ese t茅rmino de aspecto extra帽o (1聽-聽L)聽^聽(1聽/聽L). Pero este 煤ltimo t茅rmino tiene su propia belleza...

Como el valor de L se establece en 0 (en el caso restrictivo), la expresi贸n (1-L)^(1/L) se convierte en 1/e y f(L) se establece en 0, de modo que el m谩ximo de ganancias previsto es de 0. Esto puede intuirse f谩cilmente. Lo que no es tan f谩cil es que el valor de L pase a 1 (en el caso restrictivo), f(L) se convierta en 1/e, de modo que,

LRT3

Este es el origen de mi resultado:聽LRT3_Proof

LRT3 es incre铆blemente f谩cil de poner en pr谩ctica. El usuario simplemente busca la ventaja de la casa y la desviaci贸n est谩ndar del juego en cuesti贸n. Para una determinada cantidad de devoluci贸n de p茅rdidas, el coeficiente de devoluci贸n de p茅rdidas para L puede calcularse con una simple hoja de c谩lculo. LRT3 produce el n煤mero de unidades que ganar谩 el jugador con ventaja (de media) si sigue una estrategia 贸ptima de retirada por ganancias y retirada por p茅rdidas.

Antes de ofrecer algunos ejemplos, me gustar铆a hacer hincapi茅 en lo siguiente. Vemos que el m谩ximo de ganancias previsto es directamente proporcional a la varianza (desviaci贸n est谩ndar al cuadrado) del juego e inversamente proporcional a la ventaja. A menudo escuchar谩s a un jugador con ventaja afirmando que aumentando la varianza se mejora la devoluci贸n potencial mediante el aprovechamiento de la devoluci贸n de p茅rdidas. Esta f贸rmula lo aclara. Dobla la desviaci贸n est谩ndar y multiplica la tasa de ganancias por 4. Dobla la ventaja de la casa y divide a la mitad la tasa de ganancias.

Otro comentario r谩pido. Unas anotaciones te demostrar谩n que las ganancias m谩ximas o聽maxwin聽>聽0, sin importar los valores de las variables por las que se sustituya. Es decir, una consecuencia de LRT3 es que聽toda promoci贸n de devoluci贸n de p茅rdidas sin restricciones en todo juego de casino puede derrotarse.

La siguiente tabla presenta los coeficientes de devoluci贸n de p茅rdidas para algunos de los porcentajes de devoluci贸n de p茅rdidas m谩s habituales:

Devoluciones de p茅rdidas: Coeficiente
m谩ximo de ganancias

Porcentaje de devoluci贸n de p茅rdidas

Coeficiente

5聽%

0,0003206

8聽%

0,0008336

10聽%

0,0013165

12聽%

0,0019164

15聽%

0,0030444

18聽%

0,0044590

20聽%

0,0055690

25聽%

0,0089643

Aqu铆 tienes algunos ejemplos.

Ejemplo聽1.聽Don Johnson. En su caso:

  • 渭聽=聽-0,0029036
  • 蟽聽=聽1,1417
  • L聽=聽0,20

Si observas el 0,20 de la tabla anterior, el coeficiente de devoluci贸n de p茅rdidas es 0,0055690. Por consiguiente, el m谩ximo de ganancias previsto para Don Johnson ser铆a:

maxwin聽=聽[(1,1417)^2/(2聽x聽0,0029036)]聽x聽(0,0055690)聽=聽1,250013.

Como la 鈥渦nidad鈥 para Don Johnson eran 100.000 $, sus ganancias previstas por d铆a eran de 125.001 $.

Ejemplo聽2. Ruleta 0 煤nico, apuestas directas de $1.000, devoluci贸n de p茅rdidas del 12聽%. En este caso:

  • 渭聽=聽-0,0270270
  • 蟽聽=聽5,8378
  • L聽=聽0,12

Si observas el 0,12 de la tabla anterior, el coeficiente de devoluci贸n de p茅rdidas es 0,0019164. Por consiguiente, el m谩ximo de ganancias previsto por aprovechar una devoluci贸n de p茅rdidas del 12聽% en apuestas directas en ruletas con 0 煤nico es:

maxwin聽=聽[(5,8378)^2/(2聽x聽0,0270270)]聽x聽(0,0019164)聽=聽1,208264.

Como la 鈥渦nidad鈥 es 1.000 $, el m谩ximo de ganancias previsto por sesi贸n es 1.208 $. Se invita al lector a que calcule las ganancias m谩ximas o聽maxwin聽para una ruleta con 0 煤nico para apuestas a pares e impares (蟽聽=聽0,9996, mismo聽渭 y L).

Este es un aspecto de los coeficientes de devoluci贸n de p茅rdidas que me gustar铆a sacar a la luz a modo de ejemplo. Para un juego fijo, una devoluci贸n de p茅rdidas del 10聽% utiliza el coeficiente de devoluci贸n de p茅rdidas del 0,0013165, mientras que para una devoluci贸n de p茅rdidas del 20聽% utiliza el coeficiente de devoluci贸n de p茅rdidas del 0,0055690. Por consiguiente, las ganancias m谩ximas disponibles de una devoluci贸n de p茅rdidas del 20聽% ser铆a (0,0055690/0,0013165)聽=聽4,23 veces el disponible de una devoluci贸n del 10聽%. Al ofrecer dos veces el porcentaje de devoluci贸n de p茅rdidas se cuadruplica la vulnerabilidad del juego con ventaja.

Aqu铆 se incluye un gr谩fico del coeficiente de devoluci贸n de p茅rdidas como una funci贸n del porcentaje de devoluci贸n de p茅rdidas:聽

the loss rebate coefficient

Por el momento, no s茅 qu茅 m谩s hay que hacer para seguir trabajando en esta direcci贸n en el problema de la devoluci贸n de p茅rdidas.聽Sacar茅 a mi perro de paseo m谩s tarde, a ver qu茅 se me ocurre. [Nota. Saqu茅 al perro de paseo. Ni una idea nueva. 隆Perro malo!]

Sobre el Autor
Por

Eliot Jacobson recibi贸 su doctorado en Matem谩ticas de la University of Arizona en 1983. Eliot ha sido profesor de Matem谩ticas y de Ciencias de la Computaci贸n. Eliot se jubilo de la academia en 2009.

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